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给出一棵 \(n\) 个节点的树，边有边权，现要求你将这 \(n\) 个点划分到 \(m\) 个集合，集合不许为空。
另要求 \(1\) 号集合必须包含 \(1\) 号点，并且 \(1\) 号集合的大小必须正好为 \(k\) 。
如果一条边连接的两个点属于同一个集合，则这条边的边权将被计入总代价。
问总代价最少为多少。
- \(1\le k\le n \le 300,2\le m\le n\)
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Solution
分析题目性质。
首先我们保证能划分出 \(m\) 个集合，即 \(n-k\ge m\)。
然后考虑每一条边何时会产生代价。
如果两个端点都属于 \(1\) 号集合，显然产生代价。
如果两个端点中只有一个属于 \(1\) 号集合，显然不产生代价。
如果两个端点都不属于 \(1\) 号集合，只要 \(m>2\) ，不会产生代价，否则产生代价。
为什么第三条成立？
如果只有两个集合显然要产生代价。
如果多于两个集合，也就是说这两个不属于 \(1\) 号集合的点都有多于一种的选择属于哪一个集合。
而题目限制是不为空集，边的代价产生条件是属于同一集合，两个条件没有互相约数的地方。
也就是说，我们把一条边的两个端点分到两个集合，不会与约束条件冲突，同时我们通过调整配对情况使得这条边的代价没有产生。
记得首先要特判。
然后问题就变为，树上选 \(k\) 个点，如果有一条边的两个端点同时被选中，边权会被计入代价，求代价最小 \((m>2)\)。
这不就是一个背包........
注意到特殊的计算方式需要我们同时知道父节点和叶节点的决策，所以：
设 \(f[i][j][0/1]\) 表示，以 \(i\) 为根的子树中，选中 \(j\) 个点的最小代价，其中不选 \(/\) 选 \(i\) 号节点。
记 \(u\) 为当前的根节点， \(v\) 为枚举的子树根节点，\(w\) 为当前边的边权，转移有
\[ f[u][j][0]=min(f[u][j][0],f[u][j-k][0]+min(f[v][k][1],f[v][k][0]))\\ f[u][j][1]=min(f[u][j][1],f[u][j-k][1]+min(f[v][k][1]+w,f[v][k][0])) \] 考虑把 \(m=2\) 的情况加入转移。其实只要在两个都不选入 \(1\) 集合那里特判一下就好了。
\[ f[u][j][0]=min(f[u][j][0],f[u][j-k][0]+min(f[v][k][1],f[v][k][0]+w*[m==2]))\\ f[u][j][1]=min(f[u][j][1],f[u][j-k][1]+min(f[v][k][1]+w,f[v][k][0])) \] 但是这一转移还有问题。考虑我们处理完红色部分子树的答案之后，剩余的黑色子树部分的答案。
注意到由于取 \(min\) 的转移，在枚举 \(k=0\) 的时候无论如何我们也不会加上右侧子树的答案。
但是一些情况里 \((\)诸如 \(m=2)\) 这个答案显然是不合法的。
所以我们枚举每一棵子树的时候都先 \(copy\) 一份转移数组，然后重置原数组为 \(inf\) 就可以了。
貌似这个 \(trick\) 也叫多叉树转二叉树？
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Code
#include#include #include #include #include #include #include #define N 310#define R register#define gc getcharusing namespace std;inline int rd(){ int x=0; bool f=0; char c=gc(); while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();} while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();} return f?-x:x;}int n,m,ktot,tot,hd[N],f[N][N][2],tmp[N][2];struct edge{int w,to,nxt;}e[N<<1];inline void add(int u,int v,int w){ e[++tot].to=v; e[tot].w=w; e[tot].nxt=hd[u]; hd[u]=tot;}void dfs(int u,int fa){ f[u][1][1]=f[u][0][0]=0; for(R int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt) if((v=e[i].to)!=fa){ dfs(v,u); for(R int j=0;j<=ktot;++j) tmp[j][0]=f[u][j][0],tmp[j][1]=f[u][j][1]; memset(f[u],0x3f,sizeof(f[u])); for(R int j=0;j<=ktot;++j) for(R int k=0;k<=j;++k){ f[u][j][0]=min(f[u][j][0],tmp[j-k][0]+min(f[v][k][1],f[v][k][0]+(m==2)*e[i].w)); f[u][j][1]=min(f[u][j][1],tmp[j-k][1]+min(f[v][k][1]+e[i].w,f[v][k][0])); } }}int main(){ n=rd(); m=rd(); ktot=rd(); if(n-ktot